У этого вида тоже корневище с побегами?

Это однолетник. Побег ветвится от основания.

Lamium purpureum обычно однолетник, но иногда как двулетник (в Нечерноземье) и, видимо, образует короткие корневища.

Но здесь видно много оснований с ветвящимися от них побегами. Это одно растение? Двулетник?

Это однолетнее растение с мочковатой корневой системой. Как правило, сильно ветвится от основания. Картофельник ежегодно перекапывается, обычно в сентябре. После этого у однолетников появляется шанс прорасти и стать озимыми.

Спасибо.