Как правильно называются вегетативные органы у Cactaceae? Неужели тоже побеги, А у опунций, Побеги и ветки?

Да, это побеги. Простые и разветвлённые.

Система родительских и дочерних побегов - ветвь.

А что называть побегом у опунций,

Лепёшку.

А если они растут одна из другой, то это ветка?

"Побег" - строгий ботанический термин. "Ветка" - больше понятие бытовое. При их сравнении - "побег" - понятие более широкое. Он может быть однолетним и многолетним, простым и ветвистым, молодым или старым и т.д. С корнем слова "вет..." есть ботанические термины, но другого плана (динамического) - "ветвление", например. То есть побег может ветвиться. Но все равно он - побег. А для уточнения, понимания - вы можете сказать: "ответвление побега" или просто"ветка". Так что у опунции всё равно это побеги - не важно - одна лепешка или их ряд одной над другой. А для уточнения вы можете использовать любые понятийные обозначения - лишь бы собеседник вас понял :)

Именно.

Значит, побег - это часть всей конструкции? Собственно говоря, мой вопрос имел ввиду выяснить, какими терминами на русском языке описывается строение вегетативных органов (конструкций из них) опунций. Если они растут цепочкой, может ли это быть веткой? Для определения Cactaceae у меня есть только немецкие источники. Я понимаю, что обозначают большинство терминов, но не знаю, как назвать это по-русски. Уверена, что Trieb это побег. А как называется Triebsegment ("лепёшка")?

"Лепёшка" (Triebsegment) - это элементарный побег со специфической морфологией, не более того. Просто "Trieb" в их понимании, видимо, цепочка элементарных побегов. "Элементарный побег" - этот побег, выросший за один период роста.

Побег (элементарный побег) - базовый элемент конструкции (модуль) вообще всех цветковых растений.

Теоретическую часть я поняла насколько это мне доступно. Практический вопрос: как называть цепочку элементарных побегов?

Можете назвать "система (уплощенных) побегов".